
História da cultura das Matemáticas
em Portugal no século XVI
Estado de Portugal no século
XVI
Álvaro Tomaz e Gaspar
Nicolas, aritméticos
Pedro Nunes como cosmógrafo
Pedro Nunes na Física
A Cosmologia na obra de
Pedro Nunes
Pedro Nunes na Geometria
Pedro Nunes na Álgebra
Considerações gerais
sobre os trabalhos de Pedro Nunes
Vida de Pedro Nunes
Astrónomos e cosmógrafos
contemporâneos de Pedro Nunes
Estado
de Portugal no século XVI
No segundo período da História da cultura das Matemáticas
em Portugal, em que vamos entrar, período que coincide
com o século XVI, está êste país no auge da sua glória.
O manto dos seus reis, a-pesar-dos defeitos que cobre,
deslumbra todo o mundo então conhecido. A semente
espalhada pelos seus antecessores do século XV germinara
e está produzindo frutos maduros que aqueles estão
colhendo. Nenhum país o excede em fama e poderio. E êle
um povo de eleição cujos marinheiros navegaram em frágeis
caravelas, hàbilmente dirigidas, até à Índia, a Terra
para eles da Promissão, que lhe deu a glória de um povo
de heróis, e até ao Brasil, que lhe havia de dar no
futuro a honra de um povo colonizador.
Demais, a Providência, generosa para êste povo, não
lhe deu sòmente heróis na navegação e na guerra, deu-lhe
também heróis do pensamento: deu-lhe Camões, o Homero
das suas glórias, deu-lhe cronistas insignes, para
narrar os feitos na terra e no mar dos seus soldados e
marinheiros e, como presente apropriado ao seu papel nos
Oceanos, deu-lhe cosmógrafos eminentes, que organizaram
a ciência da navegação do seu tempo e prepararam a ciência
da navegação do futuro.
Abriu o período D. Manuel, monarca venturoso e
vaidoso, que teve a ventura de ver partir e regressar os
heróis que primeiro aportaram à Índia e pôde ter a
vaidade de ser o chefe supremo de tal gente.
Seguiu-se D. João III, que conservou e mesmo aumentou
os domínios que herdou de seu pai, mas que, pelo seu espírito
intolerante, ou talvez mal aconselhado, cometeu o êrro
nefasto de introduzir em Portugal e proteger a sinistra
instituïção do Santo Ofício.
Veio depois D. Sebastião, que, com a sua febre de
heroísmos, pretendendo ajuntar aos seus domínios e aos
domínios da cristandade as terras da Mauritânia,
sucumbiu com o exército português nos areais malditos
de Alcácer-Quivir.
Este terrível desastre feriu mortalmente Portugal, a
cuja agonia assistiu um velho decrépito, o Cardial D.
Henrique, que fechou fùnebremente a dinastia que
auspiciosamente abrira D. João I.
Depois as terras de Afonso Henriques, sagradas para os
Portugueses, caíram no domínio do ambicioso Filipe II
de Castela.
E assim sucumbiu miseramente uma nação que menos de
um século antes subira a uma glória épica que fora o
assombro do mundo. É que o manto real, quanto mais se
estendia, mais e maiores vícios e erros cobria, vícios
e erros que começaram a manifestar-se no reinado de D.
Manuel, aumentaram no reinado de D. João III e
continuaram a aumentar no reinado de D. Sebastião; por
isso aquele manto, depois de manchado de sangue na Mauritânia,
transformou-se em sudário da dinastia e do reino.
Eis o cenário histórico em que vai passar-se o
segundo período da história da cultura das Matemáticas
em Portugal.
Álvaro Tomaz e
Gaspar Nicolas, aritméticos
No primeiro período da história das Matemáticas em
Portugal não apareceu cultor algum destas ciências que
se ocupasse de assuntos diferentes da sua aplicação à
náutica. Não aconteceu o mesmo no segundo. Aparece logo
a abri-lo um aritmético insigne, Álvaro Tomaz.
É êste matemático autor de uma obra intitulada Liber
de triplice motu, publicado em Paris em l509, e, pelo
que diz no prefácio, sabe-se que nasceu em Lisboa e que
foi professor em um colégio da capital da França.
Ainda há bem poucos anos era completamente
desconhecido em Portugal, segundo creio, e é ao ilustre
professor da Universidade de Madrid Rey-Pastor que
devemos a notícia dele, bebida em um excelente livro que
em 1926 consagrou à historia dos matemáticos espanhóis
do século XVI. Ocupou-se Álvaro Tomaz no livro
mencionado do movimento do ponto sôbre o plano e a sua
doutrina a êste respeito está estreitamente ligada à
que fôra dada por Oresme, no século XIII, no tratado De
latitudinibus formarum, onde êste célebre geómetra
estudara o movimento do ponto por meio da representação
sôbre um plano da relação entre a velocidade e o tempo
relativamente a dois eixos de coordenadas. Esta obra foi
comentada no século XIV por Biagio de Parma e era muito
conhecida nos tempos de Álvaro Tomaz.
No livro do matemático português, a teoria de Oresme
é estudada por um método aritmético-geométrico
engenhoso e dão-se nêle teoremas notáveis, entre os
quais assinalaremos o seguinte: em qualquer movimento
variado de um ponto, a linha descrita poderia ser
percorrida no mesmo tempo por outro ponto com velocidade
constante, compreendida entre a maior e a menor
velocidade do primeiro ponto; teorema que, aplicado ao
movimento variado, dá um resultado que se tem atribuído
a Galileu, mas que, segundo se vê em um excelente
trabalho de Marcolongo sôbre Leonardo de Vinci, fora
dado antes pelo mencionado matemático Oresme e
reproduzido em um manuscrito daquele célebre pintor e sábio.
O livro de Álvaro Tomaz ainda notável pela
habilidade com que o autor soma nêle algumas séries numéricas
e pelo engenho com que determina limites para o valor de
outras que, por dependerem de logaritmos, se não podiam
somar naqueles tempos, e ainda de outras que ainda agora
se não sabem somar.
A intervenção das séries nas questões de cinemática
estudadas no livro considerado explica-se do modo
seguinte. No modo de estudar estas questões, divide-se o
tempo em intervalos em progressão geométrica, considera-se
como constante a velocidade do movimento durante cada
intervalo e consideram-se as velocidades correspondentes
aos diversos intervalos como ligadas por uma lei. A soma
dos espaços percorridos pelo ponto durante os diversos
intervalos é uma série com lei determinada que o autor
do livro estuda para diversas hipóteses daquela lei. O
movimento uniformemente variado corresponde ao caso de
velocidades em progressão aritmética.
O livro de Álvaro Tomaz é muito raro; a Biblioteca
Nacional de Lisboa possui um exemplar recentemente
adquirido. Não nos foi possível obter qualquer informação
biográfica a respeito do autor; provavelmente saiu cedo
de Portugal, fêz os seus estudos em França, e ali ficou
a ensinar.

O livro mais antigo consagrado em Portugal à Aritmética
tem por título Tratado da pratica Darismetica, e
foi publicado pela primeira vez em 1519 e o seu autor
chamava-se Gaspar Nícolas. Diz-se que era natural de
Guimarães.
Abre êste tratado por alguns capítulos sôbre as
regras para somar, subtrair, multiplicar e dividir números
inteiros e fraccionários, para extrair as raízes
quadradas dos números inteiros e para somar progressões.
Seguem-se depois numerosos problemas de que o autor dá
as soluções, empregando para isso a regra de três, a
regra de falsa posição, etc. Alguns dêstes problemas são
de utilidade na vida, outros são interessantes
curiosidades numéricas.
Percorrendo-o com atenção, nota-se que o livro
mencionado é um excelente manual de Aritmética prática,
muito claro e simples na exposição das doutrinas, sem
teorias, que certamente prestou bons serviços no século
XVI. Dá-lhe um interêsse especial a circunstância de o
autor do livro ter recolhido alguns problemas
considerados nas obras de Frei Lucas de Burgo, como êle
próprio diz, sendo assim talvez o primeiro a fazer notar
na nossa Península o célebre matemático italiano que
depois Marco Aurel, na Espanha, e principalmente Pedro
Nunes, em Portugal, engrandeceram, ensinando as suas
teorias algébricas.
Gaspar Nícolas não deduz no seu tratado as soluções
dos problemas que considera, não emprega a arte algébrica;
enuncia-os, indica as soluções e verifica-as, sem dizer
o modo como as obteve. É pena que o mesmo aritmético não
tenha extraído da obra de Frei Lucas a parte relativa à
Álgebra, para a fazer conhecer em Portugal.
O livro de que acabamos de falar, foi muito lido em
Portugal no século em que foi escrito e nos seguintes,
porque, além da edição de 1519, da qual se conhece
apenas um exemplar, possuído pela Faculdade de Ciências
do Pôrto, teve outras em 1530, 1541, 1573, 1594, 1613,
1679 e 1716.
Na Espanha, antes de aparecer em Portugal o livro de
Gaspar Nícolas, tinham sido publicados os tratados de
Aritmética de Ciruelo, Frei João de Ortega e Siliceo.
Seria interessante comparar com eles os do aritmético
português, mas não me foi possível fazê-lo, por não
ter podido obter os tratados daqueles autores.

Os livros de Frei Lucas de Burgo e de Gaspar Nícolas
inspiraram outro aritmético português, Bento Fernandes,
na composição do seu Tratado da arte d'Arismetica,
publicado em 1555, para uso dos mercadores, livro que
contém, como o de Nícolas, as regras necessárias para
executar as operações numéricas e para resolver os
problemas que apareciam naqueles tempos no exercício do
comércio, e, além disso, as doutrinas de Frei Lucas
para a resolução das equações do primeiro e do
segundo grau. Este tratado representa pois um grande
progresso sôbre o de Nícolas, que não contém estas últimas
doutrinas, já então divulgadas na Espanha por Marco
Aurel.

Outro escritor dos mesmos tempos que se ocupou de
assuntos matemáticos estranhos à náutica foi D.
Francisco de Melo, Bispo de Goa. Estudou em França, onde
foi discípulo de Brissot, e, depois de voltar a Portugal,
compôs comentários em latim às doutrinas de Óptica
atribuídas a Euclides e ao tratado De incidentibus in
humidis de Arquimedes, que ficaram inéditos.
Pedro Nunes como cosmógrafo
Voltemos à história da Astronomia náutica,
interrompida para poder apresentar alguns aritméticos,
sem alterar a ordem cronológica. Entra em cena Pedro
Nunes e, com êle, a hegemonia das Matemáticas na Península
ibérica vai passar da Espanha para Portugal. Não
devemos todavia esquecer que no período em que vamos
entrar, teve o país vizinho em Frei João de Ortega um
aritmético ilustre, cujo valor foi assinalado com elogio
pelo sr. Rey-Pastor no seu já mencionado livro sôbre os
matemáticos espanhóis do século XVI.
Como dissemos nos Panegíricos e Conferências,
Pedro Nunes apareceu na cena do mundo no alvorecer da
civilização moderna, quando Portugal estava no período
do seu máximo esplendor. Poucos anos antes de nascer,
tinha Cristóvão Colombo descoberto a América, Vasco da
Gama o caminho marítimo da Índia e Pedro Álvares
Cabral o Brasil. No ano em que nasceu, 1502 fêz Vasco da
Gama a sua segunda viagem à Índia. Estava em plena
juventude quando se realizou a primeira circunnavegação
do mundo.
«Foi pois educado a ouvir falar das glórias
lusitanas e isto não podia deixar de influir para lhe
levantar o espírito, que era por natureza bem dotado, e
talvez mesmo para fixar a direcção em que havia de
exercer a sua actividade científica.
«De facto, em 1529 foi chamado a desempenhar as funções
de Cosmógrafo do Reino. Era nessa ocasião Bacharel em
Medicina pela Universidade portuguesa, então instalada
em Lisboa, e tinha visitado em romaria de estudo a
Universidade de Salamanca, que era naqueles tempos o
Santuário da ciência hispânica; mas abandonou logo
aquela ciência, então cheia de quimeras astrológicas,
que não poderiam satisfazer o seu espírito são, para
se entregar completamente aos estudos de assuntos sólidos
de Matemática e Física, começando, para cumprir os
deveres do seu cargo, por aqueles que interessavam
especialmente à Náutica». Como dissemos, também no
livro mencionado, .quando foi nomeado Cosmógrafo do
Reino, tinham terminado as grandes descobertas geográficas
dos portugueses, mas estava em plena actividade a exploração
das riquezas das terras por êles descobertas. Estava-se
no tempo em que Portugal, para consolidar e utilizar os
seus domínios no Oriente, procurava espalhar feitorias e
missões religiosas pelos lugares mais apropriados para
aquele fim; em que os seus soldados se batiam
heroicamente com os árabes, que pretendiam conservar nas
suas mãos o comércio da Índia; em que entre Lisboa e
Calecute navegavam numerosas naus, que traziam a Lisboa
as riquezas do Levante, fazendo desta cidade a rainha dos
mares e o centro do comércio do mundo».
Começava-se também na mesma época a prestar atenção
ao comércio e navegação do Brasil, cuja civilização
havia de ser mais tarde, como já dissemos, honra de um
povo de colonizadores, como as conquistas da Índia foram
glória de um povo de heróis. Foi com efeito nos
primeiros anos depois que Pedro Nunes começou a exercer
as funções de cosmógrafo que Martim Afonso de Sousa,
fundando no Brasil as primeiras colónias que Portugal
teve na América, deu os passos iniciais para a formação
do nosso extenso império do Ocidente.
A colonização da África começou mais tarde e dá
também honra aos Portugueses. Mas, ao abrir o século
XVI, tôda a costa do então misterioso continente, a
oriente e ocidente tinha sido visitada por nautas lusos e
o tormentoso Cabo da Boa Esperança era já o monumento
levantado na história a glória de Bartolomeu Dias, que
primeiro o tinha descoberto e nas águas do seu mar
perdera a vida.
O que era nesses tempos o império português no
oriente di-lo eloqüentemente o grande cosmógrafo em uma
das suas obras:
«Não há dúvida que as navegações deste reino, de
cem anos a esta parte, são as maiores, mais maravilhosas,
de mais altas e mais discretas conjecturas que as de
nenhuma outra gente do mundo. Os portugueses ousáram
cometer o grande mar Oceano. Entraram por êle sem nenhum
receio. Descobriram novas ilhas, novas terras, novos
mares, novos povos, e, o que mais é, novo céu e novas
estrêlas. E perderam-lhe tanto o medo, que nem a grande
quentura da torrada zona, nem o descompassado frio da
extrema parte do sul, com que os antigos escritores nos
ameaçavam, lhes pôde estorvar que, perdendo a Estrêla
do Norte e tornando-a a cobrar, descobrindo e passando o
temeroso Cabo da Boa Esperança, o mar da Etiópia, da Arábia
e da Pérsia, puderam chegar à Índia. Passaram o rio
Ganges, tão nomeado, a grande Trapobana e as ilhas mais
orientais. Tiraram-nos muitas ignorâncias e mostraram-nos
ser a terra maior do que o mar, e haver antípodas, do
que até os santos duvidavam, e que não há região que
nem por quente nem por fria se deixe de habitar. E que,
em um mesmo clima e a igual distância do Equador há
homens brancos e pretos e de mui diferentes qualidades. E
fizeram o mar tão chão que não há quem hoje ouse
dizer que achasse novamente alguma pequena ilha, alguns
baixos ou sequer algum penedo que por nossas navegações
não seja já descoberto».
Este hino caloroso à gloria dos portugueses foi
ouvido por Camões, que, com o alto pensamento que tais
palavras exprimem, compôs a grandiosa epopeia dos feitos
da gente lusa na terra e no mar.

Passemos agora a considerar as obras em que Pedro
Nunes se ocupou da ciência e arte de navegar.
Para cumprir os deveres do seu cargo, começou o nosso
cosmógrafo por publicar, em 1537, um livro precioso com
os artigos seguintes: 1.º Tratado da Esfera; 2.°
Teoria do movimento do Sol e da Lua; 3.° Tratado de
Geografia de Ptolomeu; 4.° Tratado de algumas duvidas da
navegação; 5.° Tratado em defensam da carta de marear;
livro, que por ser hoje muito raro e procurado, foi incluído
por Joaquim Bensaúde na sua colecção de documentos
foto-gravados para a história das navegações marítimas.
Os três primeiros tratados são traduções do latim
em português de obras de Sacrobosco, Purbachio e
Ptolomeu.
Já dissemos que João de Sacrobosco tinha composto em
latim no século XIII um tratado De sphera. Este
livro ainda muito usado no século XVI em tôda a Europa
como texto de iniciação para o estudo da Cosmografia,
era uma exposição de doutrinas desta ciência,
inspirada principalmente pelos livros de Ptolomeu e de
alguns astrónomos árabes, insuficiente sob o ponto de
vista matemático, mas muito simples, clara e elementar,
sob o ponto de vista descritivo, e por isso muito
apropriada aos médicos-astrólogos e aos pilotos. Por
ser útil aos astrólogos teve muita aceitação, e, por
ser útil aos pilotos as passagens que êstes precisavam
conhecer, tinham já sido publicadas em tradução
portuguesa nas edições do Regimento do astrolabio
anteriormente mencionadas e no livro sôbre náutica de
Francisco Faleiro, também já mencionado. Pedro Nunes
traduziu-a tôda e enriqueceu-a com Notas que a
valorizaram muito.
Pode estranhar-se que o nosso cosmógrafo, na sua
tradução deste livro não cite o nome do autor e também
que o não tenham citado os cosmógrafos portugueses que
dêle tinham extraído resumos. Certamente consideravam a
obra do célebre monge como simples modêlo clássico,
assás espalhado, por ter sido muito divulgado em
numerosas edições, cuja redacção aproveitaram, mas
cujo pensamento era de Ptolomeu.
Também pelo mesmo motivo no segundo dos tratados
mencionados não citou Purbachio.
Entre as Notas juntas por Nunes ao Tratado da
esfera há uma, que foi traduzida em latim por Elia
Vineto e junta a algumas edições da obra de Sacrobosco
que se publicaram depois, Nota em que o nosso matemático
revelou pela primeira vez originalidade de espírito e
habilidade no emprego dos métodos sintéticos dos geómetras
helénicos, demonstrando e generalizando uma observação
de Sacrobosco sôbre climas.
Ptolomeu, no Almagesto (Parte II, Cap. VI) e no
Tratado de Geografia (Parte I, Cap. X) tinha
dividido a parte da Esfera terrestre compreendida entre o
Equador e o Círculo polar ártico em zonas tais que nos
paralelos que limitam cada zona a diferença de duração
do maior dia do ano é de meia hora para as mais próximas
do Polo e de um quarto de hora para as outras (procurando
com esta distinção evitar zonas excessivamente largas
nas vizinhanças do Equador e outras excessivamente
estreitas na vizinhança do Círculo polar) e tinha
determinado as latitudes dos paralelos que limitam cada
zona. Sacrobosco reduziu a doutrina de Ptolomeu
considerando sòmente a parte da Terra que no seu tempo
se julgava habitável e nela sete zonas tais que a
diferença da duração do dia no maior dia do ano era de
meia hora e verificou numèricamente que a altura destas
zonas diminui quando se aproximam do Polo. Estas sete
zonas são as que na Geografia antiga se chamavam climas
e a observação que a respeito da variação da sua
largura faz Sacrobosco poderia ter sido sugerida pela
divisão que, como dissemos, Ptolomeu faz das suas zonas
em grupos correspondentes a meia hora e a um quarto de
hora de diferença da duração do maior dia do ano nos
paralelos que limitam cada uma.
Ora, Pedro Nunes deu forma matemática geral a esta
doutrina e obteve assim o teorema seguinte:
A zona compreendida entre dois paralelos terrestres,
situados do mesmo lado do Equador, tais que a diferença
das durações de um mesmo dia qualquer nestes paralelos
tenha um valor arbitràriamente dado diminui em largura,
quando a zona se aproxima do Polo correspondente da Terra.
Na Nota consagrada ao teorema de que acabamos de falar,
demonstrou ainda o nosso cosmógrafo uma regra geométrica,
uma construção gráfica e um método mecânico para
determinar a duração de um qualquer dia do ano em um
lugar dado da Terra.
Tudo isto merece ser notado, porque é obtido por
considerações planimétricas feitas sôbre uma figura
que está situada no plano do meridiano e sôbre outra
que está situada no plano de um paralelo e é rebatida sôbre
aquele plano, oferecendo assim um exemplo interessante de
um método clássico de Geometria descritiva moderna.
Convém, todavia, observar que êste método dos
rebatimentos tinha já sido empregado em outras questões
por Ptolomeu, nos Analemma, e por alguns Geómetras
árabes.
Delambre, referindo-se na sua História da Astronomia
à Nota que acabamos de assinalar, diz que a demonstração
de Pedro Nunes do teorema mencionado não merece ser
conservada e substitui-a por uma prova trigonométrica. Nós
pensamos, pelo contrário, que aquela demonstração
constitui um exemplo interessante de síntese geométrica,
com sabor helénico, e que, sendo traduzida em estilo
moderno, não é mais complexa do que a de Delambre.

Passemos a considerar os escritos em que Pedro Nunes
se ocupou especialmente da ciência e arte da navegação.
Os títulos dêstes escritos são: 1.° Tratado
sobre certas duvidas da navegação, já mencionado;
2.° Tratado em defensam da carta de marear, também
já mencionado; 3.° De arte atque ratione navigandi.
Diz o autor dêstes escritos no segundo dêles que
nenhuma regra que tenha fundamento na parte especulativa
ou técnica pode ser bem praticada e entendida sem notícia
daqueles princípios em que se funda, porque de outra
sorte os que dela usassem fàcilmente se enganariam.
A exposição dêstes princípios, pelo que respeita a
Náutica, é o objecto dos tratados cujos títulos
acabamos de mencionar.
O último, isto é, o tratado De arte atque ratione
navigandi , é o mais importante dêles e mesmo
talvez dos que, antes da morte de Nunes, se escreveram sôbre
a ciência e arte da navegação.
Algumas das doutrinas expostas neste tratado são a
reprodução das que tinha dado nos outros dois, outras são
nêle estudadas pela primeira vez; mas aquelas são
apresentadas sob forma mais científica. Nos trabalhos
primeiramente escritos vê-se o cosmógrafo a ensinar
doutrinas de náutica aos pilotos portugueses, no último
vê-se o sábio a divulgar as suas investigações entre
os homens cultos de todos os países que se interessavam
por aquelas doutrinas. Por isso escreveu os primeiros em
português e o último em latim. Nos primeiros tratados
revelam-se os primeiros alvores do espírito científico
do grande cosmógrafo; no último mostra-se êste espírito
em todo o seu brilho a constituir a ciência da navegação
do seu tempo e a preparar a do futuro.
Vejamos agora as questões principais estudadas nos três
livros.
Na navegação daquele tempo obrigava-se o navio a
seguir na superfície do mar uma trajectória tal que o
ângulo da direcção do movimento com o meridiano se
conservasse constante. A esta curva dava-se então o nome
de linha do rumo e dá-se hoje o nome de loxodromia.
A direcção do meridiano era dada aproximadamente pela
agulha magnética da bússola.
Julgavam os pilotos e estava mesmo escrito na Arte
de marear de Faleiro que as linhas de rumo coincidem
com círculos máximos da Esfera terrestre.
Ora, Pedro Nunes mostrou que as linhas de rumo são
geralmente espirais esféricas que dão um número
infinito de voltas à roda dos Polos da Terra e que as únicas
linhas de rumo circulares são os meridianos e os
paralelos, que correspondem evidentemente aos ângulos de
rumo de zero e de noventa graus. E ajuntou ainda,
colocando-se no ponto de vista histórico, que a não
coincidência em geral das linhas de rumo com círculos
da Esfera terrestre tinha já sido notada por Ptolomeu,
apoiando-se para isso em duas passagens do Tratado de
Geografia do grande astrónomo de Alexandria.
Na primeira destas passagens, o autor delas, para
obter a menor distância, isto é, a distância por círculo
máximo entre Corura e Palura, na Índia, abate à distância
medida, navegando entre as duas cidades, a têrça parte
desta distância, para a corrigir dos rodeios do navio,
isto é, segundo Pedro Nunes, do excesso do comprimento
do arco da linha de rumo sôbre o arco do círculo máximo
cujo comprimento se procurava; na segunda passagem, o
mesmo astrónomo, querendo obter o comprimento do arco do
paralelo compreendido entre Chersoneso e Zabas, terras
situadas na mesma latitude, não faz correcção alguma
ao resultado da medida, por serem, diz Nunes, todos os
paralelos linhas de rumo.
Esta explicação das referidas passagens é
interessante e não improvável, mas a primeira passagem
é tão vaga, que não podemos ter a certeza de que tal
explicação represente o pensamento de Ptolomeu. Mas se
o grande astrónomo alexandrino pensou na natureza da
curva de rumo, o seu alto espírito geométrico não a
confundiu com círculos.
O que podemos dizer com segurança é que Pedro Nunes
trouxe a dita curva do campo da náutica empírica, em
que era para os pilotos apenas a rota descrita pelo navio
dirigido pela bússola, para o campo da Geometria para
onde é a curva descrita por um ponto que corta os
meridianos da esfera sob um ângulo constante, que
mostrou que não é geralmente circular e que abriu a sua
teoria.
Os cosmógrafos portugueses que o precederam,
conheciam um processo para determinar a diferença das
longitudes de dois pontos da curva com uma aproximação
tanto maior quanto menor fôsse a sua distância; e, por
meio de aplicações dêste processo a arcos parciais em
que decompunham um arco dado da curva, obtinham a diferença
de longitudes dos pontos que o limitam com aproximação
tão grande quanto queriam.
Este processo equivale ao emprêgo da equação da
curva. Esta equação, obtida mais tarde por Leibniz,
depende de logaritmos, algoritmo desconhecido no tempo de
Nunes, e a vantagem que teria o emprêgo desta equação
sôbre o método usado nas nossas antigas navegações
para resolver o problema considerado, seria o de reduzir
o cálculo numérico que exige ao cálculo por logaritmos.
E acrescentemos ainda que os cosmógrafos mencionados
conheciam ainda um modo de obter o comprimento dos arcos
da linha de rumo com aproximação tão grande quanto se
queira.
Para se aplicarem estas doutrinas à navegação,
continham os regulamentos mencionados na Primeira Parte dêste
livro duas tábuas numéricas que davam, uma a diferença
de longitudes de dois lugares da curva percorrida pelo
navio correspondentes à diferença de um grau em
latitude, a outra o comprimento dêste arco. Ora, Pedro
Nunes refez, na segunda das obras mencionadas, estas tábuas,
melhorando-as e inventou um instrumento, a que chamou
compasso e que adiante descreveremos, para medir a razão
do arco do paralelo terrestre correspondente a uma
latitude dada para o raio da Terra, razão que é necessário
conhecer para se aplicar a primeira tábua.
Esclareceremos numa Nota, no fim dêste volume, o que
acabamos de dizer sôbre a linha de rumo, empregando o
simbolismo algébrico.
Convém assinalar aqui, ao terminar esta doutrina, o
facto que levou Pedro Nunes a considerar a linha de rumo,
facto notado por êle próprio no Tratado sobre certas
duvidas da navegação.
Martim Afonso de Sousa, fundador das primeiras colónias
que Portugal teve no Brasil, querendo, na sua volta da América,
vir do Rio da Prata a Lisboa, tomou e conservou o rumo de
leste, julgando que assim seguiria o círculo máximo
perpendicular ao meridiano do lugar da partida e que iria
encontrar o Equador num dos pontos em que aquele círculo
o cortava. Notou porém com surprêsa, passados alguns
dias, que, em vez de se aproximar do Equador, ia seguindo
o paralelo do lugar da partida. O motivo do êrro do
navegador está em admitir que as linhas de rumo
coincidem com os círculos máximos da esfera terrestre e
o motivo de seguir o paralelo do lugar de partida está
na coincidência dos paralelos com as linhas de rumo
correspondentes ao ângulo de 90.°.
São estas as explicações que Nunes deu do facto
narrado.
Voltou Pedro Nunes a ocupar se da linha de rumo no
segundo dos livros mencionados a propósito da sua
representação nas cartas náuticas, como veremos, mas só
no terceiro tratado se deteve a estudá-la, apresentando
nêle algumas propriedades expressas por desigualdades,
relativas à variação do comprimento dos seus arcos com
as longitudes e latitudes das extremidades, e ocupando-se
da sua forma, do seu uso na náutica, do modo de as traçar
na esfera, etc.

No tratado De arte atque ratione navigandi,
apresentou Pedro Nunes um modo de navegar por arcos de círculo,
representável matemàticamente, do qual a navegação
pela linha de rumo é um caso limite. A-pesar-dêste método
não ter interêsse prático, julgamos dever apresentá-lo
aqui, por motivos que depois se verão. Um caso
particular tinha já sido considerado pelo seu autor no Tratado
de certas duvidas na navegação para explicar o modo
de navegar por um paralelo da Terra.
Supõe o autor que o navio segue uma linha formada por
uma série de arcos de círculos máximos tais que os ângulos
que fazem com os meridianos nas primeiras extremidades
sejam iguais e tais que sejam também iguais, mas de
grandeza diferente da daqueles, os ângulos que fazem os
mesmos arcos com os meridianos nas segundas extremidades.
A curva de rumo é o limite para que tende aquela
linha, quando a diferença dos ângulos nas duas
extremidades tende para zero.
Para se apreciar êste método, diz o autor, convém
notar que um navio não segue no mar rigorosamente uma
linha de rumo, porque a agulha magnética vai fazendo
pequenos desvios sucessivos para um e outro lado, que o
marinheiro que maneja o leme, vai corrigindo. Segue uma série
de arcos de círculos máximos que formam uma linha
quebrada que se aproxima tanto mais da curva do rumo,
quanto menores são aqueles desvios. Nunes, para tratar a
questão matemàticamente, supõe todos os desvios iguais
e no mesmo sentido.
Por cálculos simples, que não exporemos aqui, mas
que serão apresentados em Nota no fim dêste livro,
mostra-se que, se um navio parte de um lugar com rumo
dado e vai seguindo uma série de arcos de círculo nas
condições mencionadas, podem determinar-se pela
Trigonometria esférica as coordenadas geográficas das
posições que vai ocupando e os comprimentos dos arcos
percorridos.
O nosso cosmógrafo dá-nos pois assim um novo modo de
navegar, bem determinado, em que o nauta segue próximo
da linha de rumo, quando a distância percorrida não é
grande.
Este método foi considerado como inexacto por Simão
Stevin e esta apreciação foi reproduzida por Montucla
na sua Histoire des Mathématiques e depois em
Portugal por Garção Stockler, no seu Ensaio histórico,
e Rodolfo Guimaráes, no artigo que, a respeito de Nunes,
publicou nos Anais científicos da Academia Politécnica
do Pôrto. Nós pensamos que as censuras do célebre
geómetra de Bruges não são aplicáveis à doutrina de
Pedro Nunes e que esta doutrina é exacta; o que aquele
matemático poderia dizer é que não é prática.
Vejamos o que diz Stevin. Este geómetra aplica a
doutrina de Nunes ao cálculo do comprimento do arco de
uma linha de rumo que parte do Equador com um ângulo de
45º e que termina cêrca de 10° abaixo do Polo e,
comparando o número assim obtido com o que dá outro método,
especial para êste caso por êle imaginado, conclui que
o número obtido pelo método do matemático português dá
o comprimento procurado com aproximação insuficiente.
Ora, isto não mostra que a doutrina de Pedro Nunes é
falsa, mas sim que não é suficientemente aproximada
para arcos tão grandes.
Indo mais longe do que Stevin, Stockler diz que certas
equações que Nunes empregou, são incompatíveis com
outras tiradas da equação leibniteziana da curva de
rumo (ver a Nota no fim do livro). Isto é exacto, mas
estas últimas equações e as de Nunes correspondem a
questões diversas.
As equações de Nunes correspondem a linhas formadas
por séries de arcos de círculo convenientemente
escolhidos, de que as linhas de rumo são limites, e as
outras correspondem a estas últimas linhas.
Ajuntemos que Stevin propôs, para substituir a
doutrina de Nunes, uma outra doutrina que não difere
essencialmente da que fôra já empregada no século XV
pelos pilotos portugueses e se encontra no Regimento
do astrolábio, mencionado na Parte Primeira dêste
livro, como se verá nas Notas.
Ajuntemos ainda que esta doutrina é aplicada por
Stevin de um modo que não convém. Em quanto que na
aplicação dela os nautas portugueses fazem depender o cálculo
das longitudes do valor das latitudes, que se obtinham fàcilmente
por meio do astrolábio, Stevin, invertendo o problema,
faz depender o cálculo das latitudes do valor das
longitudes, que, antes da invenção dos cronómetros, não
eram fáceis de medir.
Pedro Nunes iludiu-se em quanto ao valor da sua
doutrina como meio prático de resolver o problema da
navegação pela linha de rumo. Qual foi o motivo desta
ilusão? Vamos tentar explicá-lo.
Como dissemos, empregava-se na náutica para resolver
êste problema um método que equivale a considerar a
curva de rumo como um polígono de lados tão pequenos
quanto se queira. Ora, provàvelmente o nosso matemático,
notando que às linhas rectas do plano correspondem na
esfera círculos máximos, entendeu que, substituindo
aquele polígono por uma linha composta de arcos dêstes
círculos dispostos do modo que apresentou, se aproximava
mais da linha de rumo do que por meio daquele polígono.
Mas deu-se o contrário porque enquanto que o polígono
tem os seus vértices sôbre a curva, os vértices da
linha que substitui a esta curva estão fora dela. Abriu
pois apenas uma teoria que não teve seguimento porque a
descoberta por Leibniz, por meio da antiga teoria da
curva, da sua equação esférica, expressa por
logaritmos, tornou a nova doutrina inútil.

Ocupou-se também Pedro Nunes nas obras consagradas à
náutica da navegação por círculo máximo, dando a
relação que deve ligar a latitude com o rumo em cada
ponto dêste círculo e dando uma regra prática para se
obter o efeito desejado por meio de observações das
latitudes tão freqüentes quanto seja possível. As
regras que actualmente se empregam neste problema de
navegação, isto é, na ciência da navegação
ortodrómica, coincidem com as dadas por Pedro Nunes,
mas os livros que se ocupam delas não mencionam o nome
de quem primeiro estudou o dito problema(l).
(1) Veja-se no fim dêste
volume uma Nota, onde são dadas a relação e a
regra mencionadas.
|
Com a doutrina da linha de rumo está
estreitamente ligada a da carta náutica, de que Pedro
Nunes se ocupou com muito desenvolvimento, ainda que de
um modo não completamente satisfatório no Tratado em
defensam da carta de marear e no tratado De arte
atque ratione navigandi.
O nosso matemático pôs nestes tratados nitidamente
as condições a que estas cartas devem satisfazer, para
serem um instrumento matemático aplicável à determinação
do rumo a seguir de um lugar a outro. Estas condições são:
representar por linhas rectas as linhas de rumo;
conservar os ângulos que estas linhas fazem com os
meridianos.
Como os meridianos e os paralelos são linhas de rumo,
resulta em particular destas condições que aqueles círculos
devem ser representados nas cartas por dois sistemas de
rectas paralelas, sendo as de um sistema perpendiculares
as do outro. Está neste caso a carta chamada quadrada,
adoptada nas navegações portuguesas, da qual já falámos
na Primeira Parte deste livro.
O nosso matemático, aprovando a escolha ocupou-se
largamente dela em um dos escritos mencionados, onde deu
conselhos aos pilotos para a usarem bem e a defendeu de
censuras que alguns lhe faziam, censuras em que algumas
vezes tinham razão, porque a carta lhes não dava tôdas
as informações de que careciam para dirigir as naus com
segurança, e algumas vezes êle próprio mais a atacou
do que defendeu.
Esta carta tinha com efeito dois graves defeitos: 1.°
deformava excessivamente a superfície da Terra, fazendo
todos os paralelos iguais e, representando-a assim como
cilíndrica; 2.° não eram nela representadas por linhas
rectas as curvas de rumo, exceptuando os meridianos e os
paralelos.
Para remediar estes defeitos, o nosso cosmógrafo,
imitando o que tinham feito outrora Marino de Tiro e
Ptolomeu para os mapas de regiões terrestres, recomenda
que se substitua a carta geral da Terra por uma série de
cartas de zonas, tomando em cada zona para base da superfície
cilíndrica que a substitui, o paralelo médio da zona e
dando à zona uma altura maior ou menor, segundo o grau
de aproximação com que se queira representá-la. As
linhas de rumo da zona são então substituídas no
cilindro por hélices, a que correspondem na carta, que
é a planificação do cilindro, linhas rectas. Recomenda
depois que se reúnam tôdas estas cartas parciais em um
livro.
Mas êste remédio tem ainda um grave inconveniente: não
dá as ligações entre os lugares das diversas zonas.
O matemático português parou aqui. Não se lembrou
de reünir todas as cartas parciais em uma carta única e
dar a tôdas a mesma largura, para o que bastaria
empregar no traçado relativo a cada zona uma escala
especial convenientemente escolhida. Por não se lembrar
disto, deixou ao cartógrafo flamengo Gerardo Mercator a
honra da descoberta da carta rectangular reduzida,
com que se resolveu definitivamente o problema da carta náutica,
descoberta de que Nunes esteve bem perto.
O sistema de cartas planas primitivo era imperfeito, e
por isso os pilotos tinham dificuldade em o aplicar, e,
ao ler-se a defesa que dêle fêz Pedro Nunes, nota-se a
imprecisão que ordinàriamente acompanha a explicação
de doutrinas imperfeitas.
A-pesar porém dos seus defeitos a velha carta, com o
acrescento da representação dos rumos, referidos a várias
origens, prestou grandes serviços nas navegações dos séculos
XV e XVI. Com efeito, esta carta satisfaz aproximadamente
às condições gerais indicadas por Nunes, quando
representa uma zona da Terra de pequena altura, de um
lado e do outro do Equador; e, quando se estende fora dos
limites em que a aproximação é suficiente, para
poder representar o papel de instrumento matemático na
determinação a seguir pelo navio de um lugar a outro,
continua ainda a servir como registo empírico de rumos e
latitudes relativos a lugares pertencentes a caminhos
directamente percorridos pelos pilotos.
É justo acrescentar que Nunes pôs nitidamente o
problema da carta e que, com as suas considerações sôbre
ele, preparou a descoberta de Mercator.
Voltaremos a ocupar-nos da carta náutica em uma Nota
no fim dêste livro, onde justificaremos matemàticamente
o que acabamos de dizer.
Antes de terminar esta doutrina das cartas náuticas,
devo observar que Pedro Nunes foi quem primeiro empregou
o sistema de representação planimétrica da superfície
da esfera atribuída a Sanson e conhecido pela designação
de carta de Flamesteed.
Fizemos notar êste facto no nosso Elogio histórico
do nosso geómetra publicado nos Panegíricos e
Conferências. Neste sistema de representação da
Terra, a cada lugar corresponde no plano um ponto cujas
coordenadas são o arco que mede no paralelo do lugar,
rectificado, a sua longitude e o arco que mede no
meridiano, também rectificado, a sua latitude, referidas
a dois eixos rectangulares, que representam o Equador e o
Primeiro Meridiano.
Ora, êste modo de representação foi indicado por
Nunes no Tratado em defensam da carta de marear,
onde mostrou também, indirectamente, que neste sistema
os meridianos da Terra são representados por curvas que
gozam da propriedade que define as curvas actualmente
chamadas linhas dos senos, como se verá em uma
das Notas da presente obra. Mais tarde Flamesteed
reinventou êste sistema de carta e aplicou-o aos mapas
geográficos.
Agora, terminada esta notícia dos trabalhos de Pedro
Nunes sôbre as cartas náuticas, seria oportuno falar
dos cartógrafos mais notáveis do século XVI; mas
dispensa-nos dêste trabalho a publicação recente de um
precioso livro de Armando Cortesão, intitulado Cartografia
e cartógrafos dos séculos XV e XVI, onde êste
assunto é estudado com desenvolvimento e documentação
abundante.
Quem conhece a história das navegações dos Lusos
supõe que nos arquivos portugueses e estrangeiros devem
existir muitas cartas náuticas do século XV. Engana-se;
são pouquíssimas as que têm sido assinaladas e muitas
delas estão perdidas.
Pelo contrário, são numerosas as cartas que se
conhecem do século XVI. O erudito autor do livro
mencionado enumera as cartas anteriores ao século XVII,
classifica-as, examina as que merecem ser examinadas,
compara as que convém que sejam comparadas, dá notícia
de algumas perdidas que ficaram registradas na história
da náutica, biógrafa os cartógrafos que compuseram as
principais (os Reineis, os Homens, Vaz Dourado, etc.) e
nota, como resultado dos seus estudos, «que a quási
totalidade das cartas daqueles tempos, ou são
genuinamente portuguesas, ou feitas sôbre dados
portugueses».
E agora, antes de terminar, ajuntaremos, recordando o
Visconde de Santarém, que o sr. Cortesão actualiza e
ordena as indagações daquele ilustre fundador da história
da cartografia portuguesa e avança muito no caminho que
êle abriu.

O problema da determinação das latitudes, sendo
fundamental na aplicação da Astronomia à Náutica, não
podia deixar de chamar a atenção de Pedro Nunes.
Começou por examinar as oito regras dadas no Regimento
do astrolábio para se obter por meio da altura da
Estrêla polar em oito das suas posições à roda do
Polo, a latitude do lugar da observação, regras a que já
nos referimos. Os números que figuram nestas regras
tinham sido obtidos por observações feitas em Lisboa e
os cosmógrafos julgavam que eram aplicáveis a todos os
lugares. Ora Nunes mostrou no tratado De arte atque
ratione navigandi que, quando a Estrêla polar está
fora do meridiano do lugar da observação, aqueles números
variam com a latitude dêste lugar, e por isso manda
abandonar as regras correspondentes às observações
extra-meridianas da referida Estrêla e recorrer sòmente
às observações das suas passagens pelo meridiano.
Simplificou as regras dadas no mencionado Regimento
para a determinação das latitudes por meio da
observação da altura meridiana do Sol, modificando para
isso o modo de graduar o limbo do astrolábio. Tomava
para origem da graduação o ponto mais alto dêste limbo
e punha a nonagésima divisão no seu braço horizontal,
medindo assim directamente distâncias zenitais do Sol em
vez de alturas, e, fazendo as notificações
correspondentes nas regras para das observações deduzir
as latitudes, obteve outras de aplicação mais simples
do que as que tinham dado José Vizinho e Duarte Pacheco,
mas menos simples do que as que dera João de Lisboa.
Estas últimas correspondem, como já dissemos, a um modo
de graduar o limbo do astrolábio que nunca foi adoptado.
Deu, finalmente, um meio de determinar as latitudes
por observações da altura e azímute do Sol em qualquer
hora do dia.
Este azímute era obtido por meio de um instrumento de
sombra, aperfeiçoamento do que dera Francisco Faleiro,
instrumento que se reduzia a um prato horizontal quadrado,
no centro do qual estava um estilete vertical, e a uma
agulha magnética colocada em uma cavidade do prato,
circular e graduada, dividida ao meio pelo diâmetro que
passa pela origem da divisão.
Determinava-se por meio dêste instrumento
primeiramente o azímute do Sol relativamente ao
meridiano magnético, dado pela agulha, e corrigindo-o
depois da declinação magnética, que o instrumento também
dava, obtinha-se o azímute relativo ao meridiano astronómico.
Para determinar depois a latitude do lugar da observação,
não recorre o nosso cosmógrafo a cálculos numéricos.
Resolve a questão muito engenhosamente por meio de um
traçado gráfico feito sôbre uma esfera, onde estão
descritos um círculo máximo, que representa o horizonte,
e outro, não graduado, que passa pelo ponto que
corresponde ao zénite, traçado que determina os pontos
da esfera que correspondem aos Polos da Terra. Basta para
isso, ajustar sôbre a esfera um anel graduado que gire
à roda dos pontos que representam o zénite e o nadir.
Tomando sôbre o círculo que representa o horizonte, a
partir do círculo vertical traçado na esfera, um arco
igual ao azímute do Sol, levando o anel à extremidade dêste
arco e marcando por meio dêle no círculo vertical que
passa por êste ponto, um arco igual à altura do Sol,
medida pelo astrolábio, obtém-se um ponto cuja distância
por círculo máximo aos polos deve ser igual ao
complemento da declinação do Sol no dia da observação.
Tomando pois um compasso de pontas curvas e traçando com
uma abertura igual ao arco da esfera que representa êste
complemento da declinação, uma circunferência sôbre a
esfera, os dois pontos em que corta o círculo nela traçado
que passa pelo zénite, determinam os pontos
correspondentes aos Polos da Terra. Os arcos que os unem
ao ponto que representa aquele zénite podem ser medidos
pelo círculo graduado móvel. Um dêstes arcos
representa o complemento da latitude do lugar. Para a
escolha em cada caso, dêste arco, deu Nunes um Regimento,
em que considera as diversas posições relativas do Sol
e do observador.
Deu ainda Pedro Nunes outro método para determinar as
latitudes por meio de observações da altura e do azímute,
referido ao meridiano magnético, em duas posições do
Sol, que dispensa o conhecimento da declinação magnética
no lugar da observação e um terceiro método para as
determinar por meio de três observações dos mesmos
elementos em três posições, que dispensa o
conhecimento da declinação magnética e da declinação
do Sol no dia das observações.
Os métodos dados por Pedro Nunes para determinar as
latitudes por meio das alturas extra-meridianas do Sol, a
que acabamos de nos referir, foram publicados no Tratado
em defensam da carta de marear e no tratado De
arte atque ratione navigandi. São todos teòricamente
exactos e muito interessantes, mas infelizmente não dão
na prática resultados suficientemente aproximados, por
motivo de dificuldades da sua aplicação. A sua insuficiência
na prática foi reconhecida por D. João de Castro, que
os experimentou nas suas viagens no Mar das Índias e no
Mar Vermelho, empregando para isso instrumentos que, ao
partir de Lisboa lhe foram oferecidos pelo Infante D.
Luiz, filho de D. Manuel, seu condiscípulo nas lições
dadas por Pedro Nunes no Paço real.
É estranhável que o nosso cosmógrafo não tenha
notado que, para os usos da náutica, só são
apropriados os métodos que dão a latitude por meio de
uma única observação, ràpidamente feita, evitando-se
assim os erros provenientes dos movimentos de oscilação
e avanço do navio e de um avanço durante as observações.
A esta causa de êrro juntavam-se, na aplicação dos métodos
mencionados, os defeitos de construção e de
funcionamento do instrumento empregado para passar das
observações para o valor das latitudes, erros cuja
importância só pode ser conhecida depois das aplicações
que D. João de Castro fêz dêle. Os métodos de Nunes
caíram diante das observações dêste grande navegador,
mas na queda salvou-se o engenho do insigne teórico, que
primeiro dotou a Astronomia com um método para
determinar as latitudes por observações extra-meridianas
do Sol.
Mais tarde, depois da invenção dos cronómetros,
puderam empregar-se nesta questão os ângulos horários
do Sol que estes instrumentos determinam, em vez dos seus
azímutes, e assim subiu se, aproveitando os progressos
da Trigonometria esférica, até ao método actualmente
usado para determinar as latitudes por meio de observações
extra-meridianas do Sol.

D. João de Castro foi o maior dos discípulos de
Pedro Nunes e foi, como Duarte Pacheco, um cosmógrafo
insigne, um navegador notável e um grande capitão. Camões
glorificou-o no seu poema e Jacinto Freire de Andrade
descreveu a sua vida em linguagem clássica e estilo
conceituoso e brilhante.
Nas suas viagens fez o célebre Vice-Rei da Índia
numerosas observações de declinação magnética e
ainda de desvios da agulha devidos a curvas locais, por
meio do instrumento de sombra de Pedro Nunes, continuando
assim as observações da mesma natureza que tinham sido
feitas por João de Lisboa, como já dissemos, com um
aparelho rudimentar.
As observações de declinação magnética feitas por
estes dois navegadores formam a primeira contribuïção
notável ao problema da distribuïção geográfica das
linhas de igual declinação. Por meio das suas observações
mostrou ainda D. João de Castro que a declinação magnética
e a longitude dos lugares não estão ligadas pela
simples relação de proporcionalidade que admitiam João
de Lisboa e Rui Faleiro, irmão de Francisco Faleiro.
Os resultados das suas observações foram
apresentadas por êle próprio, em três relatórios
publicados pela primeira vez no século XIX, sob os títulos:
Roteiro de Lisboa à Índia publicado em 1882; Primeiro
Roteiro da Costa da Índia desde Goa a Diu, publicado
em 1843; Roteiro de Lisboa até Suez publicado em
1833. São três obras importantes para a história da
Geografia.

É interessante o capítulo que no tratado De arte
atque ratione navigandi Pedro Nunes consagrou às Tábuas
de declinação do Sol.
Vimos anteriormente que estas Tábuas são indispensáveis
para o cálculo das latitudes por meio da observação da
altura do Sol e dissemos que nas navegações portuguesas
se construíam por meio do Almanach de Zacuto.
Neste Almanach encontram-se, como já dissemos, Tábuas
para determinar as longitudes do Sol para todos os dias
do ano 1473 e para os três anos seguintes e regras para
destas Tábuas tirar as que convêm a outro ano qualquer,
e encontra-se ainda outra Tábua, semelhante a uma das Tábuas
afonsinas, que dá o valor das declinações dos astros
correspondentes às suas longitudes contadas de grau a
grau, supondo a obliqüidade da Eclíptica igual a 23°
33'.
Ora, Pedro Nunes substituíu a Tábua das declinações
de Zacuto, por outra correspondente à obliquidade da Eclíptica
de 23°30. No Tratado em defensam da carta de
marear, tinha dado as Tábuas de longitudes para os
anos de 1537 à 1540.
Convém observar que Ptolomeu, seguindo Eratostenes e
Hiparco, adoptara para a obliqüidade da Eclíptica o número
23°51 e que, mais tarde, nos anos 829 e 830 depois
de Cristo, os astrónomos de Bagdad, medindo-a de novo
cuidadosamente, obtiveram o número 23° 33', que foi
adoptado por Zacuto e pelos cosmógrafos portugueses
anteriores a Pedro Nunes. É estranhável que Zacuto não
tenha adoptado o número 23°32' 30", empregado nas
Tábuas afonsinas, que no seu tempo estava mais próximo
do verdadeiro do que o número que preferiu.
No século XVI já estes números não convinham e
Pedro Nunes adoptou o número 23° 30' empregado por
Regiomontano nas suas Efemérides.
Pelo que respeita à variação da linha dos equinócios,
aceitou Pedro Nunes a doutrina dos astrónomos de Toledo,
segundo a qual esta linha tem ao mesmo tempo o movimento
de precessão de Ptolomeu e o movimento de trepidação
de Azarquiel. É muito interessante, sob o ponto de vista
histórico-crítico, a análise que o nosso douto matemático
faz dos trabalhos relativos a esta questão escritos
desde o tempo de Ptolomeu, demorando-se principalmente no
comentário dos que se devem aos astrónomos de Afonso X.
É estranhável que nesta matéria se não faça menção
do Almanach de Zacuto, que tão útil fôra às
navegações portuguesas. Eu penso, com o sr. Joaquim
Bensaúde, que talvez Pedro Nunes tenha tido receio de
afrontar o fanatismo dos cristãos do seu tempo,
mencionando um judeu que fôra recentemente expulso de
Portugal como rèprobo do verdadeiro Deus. Talvez se
refira ao célebre hebreu proscrito uma passagem da obra
a que nos estamos referindo, na qual se fala de um varão
deligentíssimo (vir deligentissimus) na correcção
dos tempos sem lhe mencionar o nome.
Também infelizmente o nosso matemático não fala nas
suas obras dos cosmógrafos portugueses do século XV, a-pesar-de
elogiar algumas vezes o que até ao seu tempo se tinha
feito em Portugal no que respeita à ciência e arte de
navegar, e por isso tem responsabilidade na lenda, que
correu durante séculos, da intervenção da ciência
germânica na náutica portuguesa.

Percorrendo as obras de Pedro Nunes, vê-se, e muitas
vezes, o seu engenho manifestar-se na invenção de
instrumentos astronómicos e de métodos gráficos ou mecânicos
para a resolução de diversos problemas numéricos.
Descreveremos nas Notas juntas a êste livro o seu anel
graduado, que goza da propriedade notável de bastar
dividir os seu quadrantes em quarenta e cinco partes
iguais, em vez de noventa, para obter o valor dos ângulos
que determina, expressos em graus, o seu instrumento
de sombras para a medida da altura do Sol e o seu
compasso, já mencionado, para o cálculo dos senos com
aproximação suficiente para os usos da náutica. Aqui
vamos sòmente considerar a peça que juntou ao astrolábio
náutico com o fim de medir fracções do grau, conhecida
entre nós pelo nome de Nónio.
A invenção do Nónio foi sugerida a Pedro Nunes por
uma passagem do Almagesto pela qual se vê que os
antigos astrónomos, medindo o arco do meridiano
compreendido entre os trópicos, acharam que êste arco
está para a circunferência como 11 para 83, e portanto
que metade daquele arco, isto é, a obliqüidade da Eclíptica,
é igual a 23° 5120 (2).
(2) Representando por
x a obliqüidade da Eclíptica, temos
![]()
|
Para se explicar como se obteve para valor do ângulo
medido a fracção 11/83 da circunferência, admitiu
Nunes que no astrolábio empregado estava traçada uma
circunferência concêntrica com aquela em que eram
medidos os graus, que o seu quadrante estava dividido em
83 partes iguais e que a linha de fé da alidade do
instrumento passava pela divisão 44.
Explicada assim a passagem considerada do Almagesto,
expôs o nosso geómetra, como conseqüência dela, o
seguinte modo de obter o valor dos ângulos por meio do
astrolábio.
Tracemos no instrumento 44 circunferências concêntricas
com a que mede os graus e dividamos o quadrante de cada
uma em, respectivamente, 89, 88, 87, . . . partes iguais,
sendo as divisões contadas a partir do raio que passa
pela origem da divisão da circunferência que determina
os graus. Mede-se depois o ângulo dado pela circunferência
que dá o seu valor com maior aproximação.
Pedro Nunes não considera a sua doutrina sôbre a
medida dos ângulos como invenção própria, mas como
uma reconstituïção do método que julga ter sido
empregado por Ptolomeu para aquela medida.
O instrumento de Nunes foi notàvelmente simplificado
e tornado prático pelo Padre Cristóvão Clávio, discípulo
do matemático português, que no seu Astrolabium
livro publicado em 1593, substituíu as 44 circunferências
de Nunes por um arco auxiliar de uma única, dividido em
61 partes iguais e abrangendo um arco de 60 graus do
limbo do astrolábio(3), e
depois por
(3) Pode ver-se a
passagem do Astrolabium em que Clávio deu
a sua doutrina em um artigo de Breusing,
publicado no Jornal de Ciências Matemáticas (Coimbra,
1881, tômo III), e que Rodolfo Guimarães
transcreveu no Instituto de Coimbra (tômo XLIX,
1902), fazendo acompanhar a referida passagem da
tradução do latim para português.
|
Vernier, que em um livro publicado em 1631, sob
o título de Construction du quadrant noveau (4),
determinou o movimento do arco auxiliar, ligando-o à
alidade do astrolábio, com a qual se desloca. Destas
duas invenções resultou o instrumento actualmente
conhecido pelo nome de nónio ou vernier.
(4) Este opúsculo
é muito raro. Pode ver-se nos Anais da
Academia Politécnica do Pôrto (1916, tômo
XI) uma notícia bastante desenvolvida de um
exemplar que se encontra na Biblioteca Nacional
de Paris.
|
É instrutiva, a êste respeito, uma Nota do Ensaio
histórico de Garção Stockler, na qual êste matemático
indica um modo de passar do instrumento de Nunes para o
de Clávio e Vernier. Mas esta passagem não se faz com
tanta evidência que tire aos aperfeiçoamentos dêstes
últimos o seu mérito. Explicar uma invenção feita é
muito diferente de inventar. E mesmo não é crível que
Clávio e Vernier seguissem caminho tão longo para
chegar a uma invenção que se lhes apresentou de uma
maneira bem simples.
O que podemos dar como certo é que Pedro Nunes,
inspirado por Ptolomeu, pôs o problema da avaliação
das fracções do grau nas medições feitas com o astrolábio
e deu a primeira solução dêle, e que outra solução,
simples e prática, foi depois dada por Clávio e Vernier
e que ao primeiro dêstes matemáticos pertence a idea
essencial desta solução.
A respeito da passagem do tratado De arte atque
ratione navigandi em que Pedro Nunes se referiu à
invenção do seu instrumento, faremos aqui algumas
observações.
Ptolomeu fala da obliqüidade da Eclíptica no
Almagesto (pág. 9 da edição de 1515), mas não diz que
foi êle quem encontrou a fracção da
circunferência, para valor do arco do meridiano
compreendido entre os trópicos. Dá o modo de obter êste
ângulo e diz que o seu valor está compreendido entre e do grau, isto é, entre 47°40' e 47°45'.
Depois acrescenta que a esta condição satisfaz o valor
da circunferência obtida por Eratóstenes (que chama
Archusiano) e Híparco (que chama Abrachis). Diz ainda
que o limbo do instrumento deve ser dividido em graus e
cada grau em partes do grau, sem fixar o número delas. A
nos parece-nos que uma hipótese possível para explicar
os números obtidos para o valor do arco compreendido
entre os trópicos é que cada grau do instrumento estava
dividido em doze divisões de 5' cada uma e assim obteria
que o valor do ângulo considerado está entre 47° mais
oito divisões do grau e 47º mais nove divisões do grau.
Poderia também cada grau estar dividido em seis partes
de 10º cada uma e calcular as meias divisões por aritmética.
Agora vem outra questão: como encontraram Eratóstenes
e Híparco o número ?
Segundo Pedro Nunes, que não cita estes autores e o
atribui a Ptolomeu, teria sido obtido, como dissemos, por
meio de um círculo cujo quadrante estava dividido em 83
partes iguais.
Delambre, na sua Histoire de l'Astronomie,
considera a questão e sem mencionar o nosso matemático,
apresenta outra explicação. Diz que por meio do
instrumento se achou que o ângulo considerado está
compreendido entre e do
grau, e portanto entre os números
e ![]()
que são aproximadamente iguais a .
Nós, atendendo ao facto de Ptolomeu falar da divisão
do limbo do astrolábio em partes de grau, aceitamos a
opinião de Delambre, modificando-a de modo a harmonizá-la
com os números dados por Ptolomeu para limites entre os
quais está o valor do arco de círculo máximo
compreendido entre os trópicos. Com efeito, em vez de
dizer, com Delambre, que êste valor está compreendido
entre e da circunferência, diremos que está
compreendido entre e da
circunferência e que se pode
considerar como igual a com um
êrro inferior a ![]()
Não sabemos se Pedro Nunes fêz construir o seu
instrumento. Segundo uma tradição colhida por Stockler,
os instrumentos astronómicos que existiam na
Universidade de Coimbra foram fundidos no período de
decadência científica que se seguiu à morte de Nunes
para se aplicar o seu metal na construção de uma grade.
O único exemplar dêste instrumento de que há notícia
foi mandado construir por Tycho-Brahe, mas êste astrónomo
renunciou em breve ao seu emprêgo por não lhe
reconhecer utilidade prática. Mais tarde, Delambre notou
na Histoire de l'Astronomie, com o exame de uma série
de casos, a dificuldade na escolha do círculo que se
deve empregar para medir cada ângulo. Felizmente a invenção
do matemático português levou à de Clávio e depois ao
precioso instrumento de Vernier.
Tem-se discutido muito se ao instrumento actualmente
empregado para medir as sub-divisões do grau se deve dar
o nome de nónio ou o de vernier.
A mim não me agrada nem a primeira nem a segunda
designação. Quem lhe chama nónio não diz a
verdade; quem lhe chama vernier não é justo. Além
disso, considero o uso de designar nas ciências um
objecto com o nome de um homem como inconveniente para a
sua história, por levar muitas vezes a ideas falsas a
respeito das invenções. O caso actual é um dêles. Nem
é històricamente justa a designação de nónio,
nem a de vernier. Eu preferiria chamar aos
instrumentos considerados sub-divisores dos ângulos,
e então figurariam na história o do nosso matemático
com o nome de sub-divisor de Nunes e o actual com
o nome de sub-divisor de Clávio e Vernier, porque
estes nomes não podem separar-se na invenção dêste
sub-divisor.
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